ラグランジュ力学 (Lagrangian mechanics)

仮想仕事の原理 (Virtual work principle)

δ′W=∑i=1NFi⋅δri=0{\delta}' W = \sum^{N}_{i=1} {\mathbf F}_i \cdot \delta {\mathbf r}_i = 0

ダランベールの原理 (D'Alembert's principle)

Ki−mir¨=0{\mathbf K}_i - m_i \ddot{\mathbf{r}} = 0

ラグランジュの変分方程式

∑i=1N(Fi+Si−mir¨i)⋅δri\sum^{N}_{i=1} \left( {\mathbf F}_i + {\mathbf S}_i - m_i \ddot{\mathbf r}_i \right) \cdot \delta {\mathbf r}_i
∑i=1N(Fi−mir¨i)⋅δri\sum^{N}_{i=1} \left( {\mathbf F}_i - m_i \ddot{\mathbf r}_i \right) \cdot \delta {\mathbf r}_i

第一種ラグランジュ運動方程式

mix¨i=Fi+∑l=1hλl∂fl∂xi,   i=1,2,⋯,nm_i \ddot{x}_i = F_i + \sum^{h}_{l=1} {\lambda}_l \frac{ \partial f_l }{ \partial x_i } ,\ \ \ i = 1,2,\cdots ,n

λi \lambda_i はラグランジュの未定乗数 (undetermined Lagrange multipliers)

第二種ラグランジュの運動方程式 (Lagrange's equations)

ddt(∂L∂q˙i)−∂L∂qi=0,   i=1,2,⋯,f\frac{ d }{ dt } \left( \frac{ \partial L }{ \partial \dot{q}_i } \right) - \frac{ \partial L }{ \partial q_i } = 0 , \ \ \ i = 1,2,\cdots , f

ラグランジアンの例

L=T(q˙)−V(q)L=12mr2˙−eϕ+er˙⋅A\begin{aligned} L & = T (\dot q) - V(q) \\ L & = \frac{ 1 }{ 2 } m \dot{{\mathbf{r}}^2} - e \phi + e \dot{ \mathbf r } \cdot \mathbf{A} \\ \end{aligned}