摂動論 (Perturbation theory)

時間依・存縮退のない摂動

波動関数 $ \ket{ \psi_n } $、$ E_n $ を

\ketψn=\ketψn(0)+λ\ketψn(1)+λ2\ketψn(2)+λ3\ketψn(3)+⋯En=En(0)+λEn(1)+λ2En(2)+λ3En(3)+⋯\begin{aligned} \ket{ \psi_n } & = & \ket{ \psi_n^{(0)} } + \lambda \ket{ \psi_n^{(1)} } + \lambda^2 \ket{ \psi_n^{(2)} } + \lambda^3 \ket{ \psi_n^{(3)} } + \cdots\\ E_n & = & E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \lambda^3 E_n^{(3)} + \cdots\\ \end{aligned}

とし、波動方程式を

(H^+λH′^)\ketψn=En\ketψn \left( \hat{H} + \lambda \hat{H'} \right) \ket{ \psi_n } = E_n \ket{\psi_n}

とする。

1次の摂動項

\ketψn(1)=∑mCm\ketψm(0) \ket{\psi_n^{(1)}} = \sum_m C_m \ket{\psi_m^{(0)}}

と置くと$ k \not= n $で、

Ck=−\Braketψk(0)∣H′^∣ψn(0)Ek(0)−En(0)Cn=0\begin{aligned} C_k & = & -\frac{ \Braket{ \psi_k^{(0)} | \hat{H'} | \psi_n^{(0)} } }{ E_k^{(0)} - E_n^{(0)} } \\ C_n & = & 0 \\ \end{aligned}

となり、

En(1)=\Braketψn(0)∣H′^∣ψn(0)\ketψn(1)=−∑m\not=n\Braketψm(0)∣H′^∣ψn(0)Em(0)−En(0)\ketψm(0)\begin{aligned} E_n^{(1)} & = & \Braket{ \psi_n^{(0)} | \hat{H'} | \psi_n^{(0)} } \\ \ket{ \psi_n^{(1)}} & = & -\sum_{m\not= n} \frac{ \Braket{ \psi_m^{(0)} | \hat{H'} | \psi_n^{(0)} }}{ E_m^{(0)} - E_n^{(0)} } \ket{ \psi_m^{(0)} } \\ \end{aligned}

である。

2次の摂動項

En(2)=−∑m\not=n∣\Braketψm(0)∣H′^∣ψn(0)∣2Em(0)−En(0) E_n^{(2)} = -\sum_{m \not= n}\frac{ {\left| \Braket{\psi_m^{(0)} | \hat{H'} | \psi_n^{(0)} } \right|}^2 }{ E_m^{(0)} - E_n^{(0)} }

また摂動はおおよそ以下の条件下で近似として機能する

∣λ\Braketψm(0)∣H′^∣ψn(0)∣≪∣Em(0)−En(0)∣ \left| \lambda \Braket{ \psi_m^{(0)} | \hat{H'} | \psi_n^{(0)} } \right| \ll \left| E_m^{(0)} - E_n^{(0)} \right|