General relativity (一般相対性理論)

測地線方程式 (The geodesic equations)

d2xαdτ2+Γαβγdxβdτdxγdτ=0 \frac{d^2 x^\alpha }{d\tau^2} + {\Gamma^\alpha }_{\beta \gamma } \frac{dx^\beta }{d\tau } \frac{dx^\gamma }{d\tau } = 0

アインシュタイン方程式 (Einstein field equations)

Rμν−12gμνR+gμνΛ=8πGc4Tμν R_{\mu \nu } - \frac{1}{2} g_{\mu \nu }R + g_{\mu \nu }\Lambda = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu \nu }
Gμν=8πGc4Tμν G_{\mu \nu } = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu \nu }

3 + 1 分解 (3 + 1 Formalism)

アインシュタイン方程式

(∂∂t−L\boldsymbolβ)Kij=−DiDjN+N{Rij+KKij−2KikKjk+4π[(S−E)γij−2Sij]}(∂∂t−L\boldsymbolβ)γij=−2NKij\begin{aligned} \left( \frac{\partial}{\partial t} - {\mathcal L}_{\boldsymbol \beta} \right) K_{ij} & = -D_iD_j N + N \left\{ R_{ij} + KK_{ij} - 2K_{ik} K^k_j + 4\pi \left[ \left( S-E \right) \gamma_{ij} - 2S_{ij} \right] \right\} \\ \left( \frac{\partial}{\partial t} - {\mathcal L}_{\boldsymbol \beta} \right) \gamma_{ij} & = -2NK_{ij} \end{aligned} 
\begin{gather}
  R + K^2 - K_{ij} K^{ij} = 16\pi E \\
  D_j K^j_i - D_i K = 8\pi p_i
\end{gather}